Igbega nọmba eka kan si agbara adayeba

Ninu atẹjade yii, a yoo ṣe akiyesi bii nọmba eka kan ṣe le gbe soke si agbara kan (pẹlu lilo agbekalẹ De Moivre). Ohun elo imọ-jinlẹ wa pẹlu awọn apẹẹrẹ fun oye to dara julọ.

Igbega nọmba eka kan si agbara kan

Ni akọkọ, ranti pe nọmba eka kan ni fọọmu gbogbogbo: z = a + bi (fọọmu aljebra).

Bayi a le tẹsiwaju taara si ojutu ti iṣoro naa.

Nọmba onigun

A le ṣe aṣoju alefa bi ọja ti awọn ifosiwewe kanna, ati lẹhinna wa ọja wọn (lakoko ti o ranti iyẹn i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Apeere 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30 emi

O tun le lo, eyun square ti apao:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

akiyesi: Ni ọna kanna, ti o ba jẹ dandan, awọn agbekalẹ fun square ti iyatọ, cube ti apao / iyatọ, bbl le gba.

ìyí Nth

Gbe eka kan nọmba z ni irú n rọrun pupọ ti o ba jẹ aṣoju ni fọọmu trigonometric.

Ranti pe, ni gbogbogbo, akiyesi nọmba kan dabi eyi: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Fun asọye, o le lo De Moivre ká agbekalẹ (eyiti a fun ni orukọ lẹhin onimọ-jinlẹ Gẹẹsi Abraham de Moivre):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ ẹṣẹ(nφ))

Awọn agbekalẹ ti wa ni gba nipa kikọ ni trigonometric fọọmu (awọn module ti wa ni isodipupo, ati awọn ariyanjiyan ti wa ni afikun).

apere 2

Gbe eka kan nọmba z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ ẹṣẹ 35°) si kẹjọ ìyí.

ojutu

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos (8 ⋅ 35°) + i ⋅ ẹṣẹ(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).